3.1. Adiós intuición, hola matemática


Cuando la intuición falla, las matemáticas vienen a echarnos un cable. Y de eso vamos a hablar: de cables. Imaginad uno larguísimo que diera la vuelta al planeta, pongamos por el ecuador, de manera que los dos extremos se tocaran a malas penas, o sea, sin que sobrara nada. Imaginad ahora que separamos el cable un solo centímetro de la superficie de la Tierra a lo largo de toda su extensión. Entonces el cable se va a quedar corto y los extremos ya no llegarán a tocarse. Falta cable, eso está claro, pero cuánto. Así a ojo, habiendo separado solo 1 centímetro el cable, ¿cuánto diríais, más o menos, que nos faltaría para volver a unir los extremos?

¿Ya? ¿Habéis hecho una apuesta? Pues ahora vamos a las cuentas. Adiós intuición, hola matemática.

Veamos, el cable alrededor del ecuador forma una circunferencia cuya longitud, que denotaremos por la letra ℓ minúscula, viene dada por la fórmula

= 2πr, (1)

donde π es el número pi (del que ya hablamos más en §16 y en §18) y r es el radio de la Tierra. El (1) entre paréntesis es para nombrar esta primera ecuación que luego vamos a usar.

Si separamos el cable de la Tierra ahora tendremos un radio mayor, que podemos llamar R mayúscula, y la nueva circunferencia tendrá por longitud

L = 2πR. (2)

Como R es un centímetro mayor que r podemos escribir

R = r + 1, (3)

con lo que la ecuación (2) quedaría como L = 2π(r+1). O bien, usando la propiedad distributiva para quitar el paréntesis:

L = 2πr + 2π. (4)

Y como 2πr es precisamente la longitud del cable pegado a la Tierra, como vimos en la ecuación (1), entonces podemos escribir la ecuación (4) como:

L=+2π (5)

¿Y qué nos dice esta ecuación última? Pues que la longitud del cable separado, L mayúscula, solo se diferencia de la longitud del cable pegado, ℓ minúscula, en 2π. Como π vale aproximadamente 3,14, la diferencia es aproximadamente de 6,28. Y como diría la profesora de física y química, ¿6,28 qué?, ¿peras, manzanas, euros? Pues está claro, en la ecuación (3) el 1 era en realidad 1 centímetro, así que ahora este 6,28 son 6,28 centímetros.

¡Ajá! ¡Menos de 7 cm de diferencia! ¿Funcionó vuestra intuición? ¿Sí?, bien. ¿No?, ¿pensabais que 1 solo centímetro a lo largo de los miles de kilómetros del ecuador se iba a ir acumulando y que nos faltaría un montón de cable al final?

Pero las ecuaciones dicen todavía más cosas. Si os fijáis con cariño en la ecuación (5) veréis que el resultado no depende del radio. De hecho, tampoco hemos usado en ningún momento el valor del radio de la Tierra. Así que esos 6,28 centímetros serían también la longitud que nos faltaría si primero ajustamos el cable alrededor de una moneda y luego lo separamos 1 cm por todos lados. Da igual el tamaño de la circunferencia.

Por si todavía queda algún escéptico que confía más en su intuición errónea que en las matemáticas, os pongo todavía un ejemplo más claro, con números, para que no haya que marearse con fórmulas. Y para que sea más fácil, en vez de un planeta esférico vamos a imaginarnos un planeta plano y cuadrado. Pongamos que tiene 10.000 kilómetros en cada lado y que le colocamos el cable alrededor, o sea, que gastamos 40.000 km de cable. Ahora separamos el cable 1 centímetro por todos los lados, ¿cuánto cable necesitaríamos? Pues los 40.000 km de antes y 8 centímetros más como podéis ver en la imagen de abajo. Es verdad que esta vez no salen los 6,28 centímetros de las circunferencias, pero 8 centímetros es bastante parecido. Desde luego no son kilómetros y kilómetros de cable extra.

Y si todo esto no ha humillado aún vuestra intuición, esperad a leer §4 y §30.