Euclides, hacia el año 300 a. C., fue de los primeros que empezaron a utilizar el razonamiento matemático de forma similar a como se realiza hoy en día. Los Elementos, su obra maestra, está formada por 13 libros con 465 proposiciones (esto es, verdades matemáticas) que son demostradas con una lógica impecable a partir de una serie de postulados iniciales básicos sobre los que Euclides construye toda su obra. Y ese es su mérito: haber dado forma y estructura lógica a los resultados matemáticos que se conocían en su momento pero que solo estaban expresados de forma vaga.
Una de las técnicas utilizadas por Euclides en sus razonamientos es la conocida como “reducción al absurdo”. Consiste en demostrar que una proposición matemática es verdadera probando que, si no lo fuera, conduciría a una contradicción. Vamos a verlo con más detalle.
En una demostración por reducción al absurdo hay que partir de una hipótesis contraria a lo que se quiere demostrar y, a través de una cadena de razonamientos acertados, llegar a una conclusión falsa, inconsistente o absurda. El fallo que ha conducido a esa conclusión final errónea ha de haber sido la hipótesis de partida (pues los razonamientos intermedios son acertados). Por consiguiente, queda así demostrado que la hipótesis cierta es la opuesta a la inicial (que era la contraria a lo que queríamos demostrar) y por tanto la hipótesis cierta es lo que realmente queríamos demostrar.
Entre las grandes proposiciones y teoremas, §3, que Euclides demostró magistralmente, se encuentran resultados que nos suenan a todos de las clases del instituto, como por ejemplo:
• Los ángulos de un triángulo suman 180°.
• En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).
• Hay infinitos números primos.
Estos resultados son conocidísimos... pero ¿son realmente ciertos? Claro que sí: no nos engañaron los profesores (bueno, el de los 180° tiene más miga de la que parece, §24). Ahora bien: ¿cómo se demuestra que estas proposiciones son ciertas? ¿Sabríais vosotros demostrarlas? Mmmh... no es fácil ¿verdad? Pues Euclides lo hizo hace 2300 años (!!!).
Presentamos a continuación una demostración de la infinitud de los números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...). La demostración es por reducción al absurdo.
Supongamos que el conjunto de los números primos es finito, siendo el primo mayor M. Así pues, escribimos ese conjunto como:
{2, 3, 5, 7, …, M}
Consideremos el número que se forma multiplicando todos los números del conjunto anterior y sumándole 1 a dicho resultado, es decir:
2·3·5·7···M + 1
Este número que acabamos de construir es mayor que M (pues se ha multiplicado el propio M por números mayores que 1).
Como ese número es mayor que M no puede estar en el conjunto de los números primos {2, 3, 5, 7, …, M} (cuyo máximo era M). Por tanto no es primo, es decir, es compuesto.
Como el número 2·3·5·7···M + 1 es compuesto entonces puede factorizarse en números primos, es decir, tendrá en su factorización algún factor primo del conjunto {2, 3, 5, 7, …, M}.
Para mayor claridad vamos a suponer que el número compuesto 2·3·5·7···M + 1 tiene al número primo 3 en su factorización (es decir, que es divisible entre 3). El argumento que viene a continuación podría hacerse con cualquier otro número del conjunto de primos {2, 3, 5, 7, …, M} aunque no fuera el 3.
Como tiene al 3 en su factorización, podremos escribir el número 2·3·5·7···M + 1 como producto del 3 por otro número natural que llamaremos q. Esto es:
2·3·5·7···M + 1 = 3·q
Dejando el 1 a la izquierda en la igualdad obtenemos
1 = 3·q – 2·3·5·7···M
Sacando factor común el 3:
1 = 3·(q – 2·5·7···M)
Acabamos de llegar a la conclusión que el número 1 se puede poner como el producto de 3 por otro número natural (el del paréntesis), lo que es absurdo: ¡1 no puede ser menor que el resultado de multiplicar 3 por algo! Nótese que sería igualmente absurdo si en vez de con el 3 lo hubiéramos hecho con el 5 o el 7 o cualquier otro primo del conjunto {2, 3, 5, 7, …, M}.
Como los razonamientos que hemos ido haciendo son todos correctos, lo único que explica que hayamos llegado a una conclusión absurda (errónea) es que la hipótesis de partida no fuera correcta.
Por lo tanto, la hipótesis correcta tiene que ser la contraria de aquella con la que iniciamos la demostración, es decir, la hipótesis correcta es que el conjunto de los números primos NO es finito (o sea, que es infinito). QED.
Por cierto, QED significa quod erat demonstrandum, y se suele poner cuando termina una demostración más o menos larga, por si alguno está tan perdido que ni se ha enterado de que ha llegado al final de la prueba del teorema.