Si acercamos la cara a unos altavoces a todo volumen, notaremos el aire que sale e incluso veremos la membrana del altavoz vibrar. Estas vibraciones de la membrana hacen que las moléculas de aire sean golpeadas y salgan propulsadas una y otra vez formando una onda de presión que percibimos como sonido cuando es registrada por nuestro oído.
Una nota musical es una de estas ondas acústicas. Cada nota se caracteriza por la frecuencia que tiene, es decir, por cuántas veces por segundo se repite el movimiento de las moléculas adelante y atrás. La frecuencia se mide en hertzios (abreviado Hz). El número de hertzios es simplemente el número de veces que se repiten los “golpes” de la onda por segundo.
El oído humano puede captar desde sonidos muy graves de unos pocos hertzios hasta muy agudos de miles de hertzios. A una onda cuya frecuencia es de exactamente 440 Hz es a lo que en música se le llama nota LA . Cualquier onda que tenga una frecuencia que sea un múltiplo de ese valor de 440 Hz (880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz...) o un submúltiplo (220 Hz, 110 Hz, 55 Hz...) será también la nota LA: sonará más agudo o más grave que nuestro LA de partida, pero conservará su sonido característico de LA.
¿Y qué ocurre con las frecuencias intermedias entre dos de estos LA consecutivos, digamos por ejemplo entre el LA de 440 Hz y el siguiente LA más agudo de 880 Hz? Es sencillo: entre ellos se encuentran el resto de notas musicales, que también tienen sus frecuencias típicas. Al intervalo entre dos notas LA consecutivas (o entre otras dos notas iguales en su sonoridad) se le llama en música una “octava”.
Una vez fijado el LA de 440 Hz podemos encontrar las frecuencias de las otras notas. Pero antes de ponernos manos a la obra, hay que tener claro cuántas notas hay. ¿Lo sabéis?... ¿seguro?... Hay 12 notas musicales. A ver, vamos a contar. DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI… Eso son 7, ¿y las que faltan hasta 12? Pues se llaman DO#, RE#, FA#, SOL# y LA# (el símbolo # se lee “sostenido”) . A los músicos les gusta mucho esta forma de nombrar las 12 notas, pero desde el punto de vista de sus frecuencias la onda del DO# no tiene nada de especial; ni siquiera tiene más relación con el DO que la relación que hay entre el FA y el MI. Un físico o un matemático etiquetarían las notas con un número n del 1 al 12 en lugar de utilizar esos nombres. Las 12 notas ordenadas de grave a agudo (o sea, de menor a mayor frecuencia) quedarían así:
A lo que íbamos, queremos encontrar las frecuencias de las notas comprendidas entre el LA de 440 Hz y el de 880 Hz. Una primera idea (errónea) sería dividir el intervalo de frecuencias en 12 partes iguales y a cada una de las frecuencias que nos dan el cambio de intervalo le llamaríamos LA#, SI, DO, DO#, RE… (o en lenguaje matemático n = 2, 3, 4, 5, 6…), pero esa aproximación no sería útil. No queremos que la distancia entre dos notas consecutivas sea el mismo número de hertzios. Entre otros problemas, eso haría que en la siguiente octava las notas no fueran el doble que sus homónimas. Lo que queremos es que el porcentaje que incrementamos la frecuencia de una nota a la siguiente sea siempre el mismo. Es equivalente a decir que la frecuencia de cada nota se obtiene multiplicando la frecuencia de la anterior por un cierto número que vamos a llamar r. Si designamos por fn la frecuencia de la nota n, tenemos que f1 sería la frecuencia de nuestro LA de partida (o sea, f1 = 440 Hz) y f13 sería el LA de la siguiente octava (o sea, f13 = 880 Hz). Podemos decir entonces que f13= 2·f1.
En general,
Además, como cada nota se obtiene multiplicando la inmediatamente anterior por r, tendremos
Para no liarnos tanto, vamos a volver a nuestras notas con números. A ver si queda claro lo siguiente:
¿Se entiende? Y como también dijimos que esa f13 tiene que ser justo el doble que f1, pues no queda otra que r12= 2, con lo que, despejando,
Hablando en tanto por ciento diríamos que cada nota tiene una frecuencia que es el 105,9% de la anterior, o, más claro aún, cada nota aumenta un 5,9% la frecuencia de la anterior.
Ahora ya podemos calcular la frecuencia correspondiente a cualquier nota, pues tenemos un problema matemático perfectamente definido. Si estuviéramos en 3° de la ESO, la profesora de matemáticas diría: “hallar el término general de la progresión geométrica cuyo primer término es 440 y cuya razón es "
Y el estudiante plantearía el problema como
Y sabría entonces que el término general es . O bien, poniendo la raíz en forma exponencial:
Sustituyendo en esta fórmula la letra n por los valores enteros del 1 al 12, obtenemos la frecuencia de las 12 notas musicales con las que se construye toda la música occidental. Ni que decir tiene que las otras octavas son múltiplos y submúltiplos de estas, tal y como se refleja también en la fórmula. Mostramos los resultados a continuación con las frecuencias redondeadas al número entero más próximo.
Todo esto no tiene solo interés teórico, sino que además tiene aplicación práctica. Y no solo para la música electrónica (donde es evidente). Cuando un luthier va a fabricar una guitarra, debe colocar los trastes (las tiras metálicas que hay sobre el mástil) en las posiciones adecuadas para que suenen las notas correctas. Al pisar con el dedo sobre el mástil, lo que estamos haciendo es disminuir la longitud de la cuerda y, en consecuencia, aumentar su frecuencia.
La quinta cuerda de la guitarra (contada desde abajo) se suele afinar en LA. Si “pisamos” con el dedo el mástil de forma que la cuerda toque el primer traste, la nota de esa quinta cuerda deberá ser un LA#. En el segundo traste será un SI, en el tercero un DO, en el cuarto un DO#... Por ello, si L es la longitud de la cuerda, entonces el luthier colocará el traste número n a una distancia dn medida desde el puente que vendrá dada por la siguiente fórmula:
¿Véis por qué?