3.14. Pares o nones: el triángulo de Sierpinski y el de Pascal


El triángulo de Sierpinski se forma siguiendo el proceso de la imagen de arriba una y otra vez hasta el infinito. Esa forma repetitiva es lo que se llama un fractal. Más concretamente se construye así:

1. Se empieza con un triángulo equilátero.

2. Se divide en 4 triángulos equiláteros iguales y se quita el central.

3. Se repite el paso anterior con cada uno de los triángulos que quedan… y así infinitamente.

Por otra parte, el triángulo de Pascal está formado por filas de números, siendo los laterales siempre el 1 y obteniéndose los demás números como suma de los dos superiores como se ve a continuación para las primeras filas (habría infinitas):

La pregunta que nos interesa aquí es ¿qué números son más frecuentes en el triángulo de Pascal: los pares o los impares? Y de paso, ¿qué tiene que ver el triángulo de Pascal con el de Sierpinski?

En la imagen anterior del triángulo de Pascal se han sombreado los números impares mientras que los pares se han dejado en blanco. Se aprecia un cierto patrón, que recuerda a la construcción del triángulo de Sierpinski que vimos al principio. Es más, si nos fijamos con detalle en el triángulo de Sierpinski veremos que tiene exactamente la misma forma que el triángulo de Pascal, donde los números pares se han pintado en blanco y los impares de gris.

Así que, volviendo a la pregunta: ¿Hay más pares o más impares? Pues la respuesta ahora empieza a estar clara y el resultado es sorprendente. Son “casi todos” pares (blancos). De hecho, conforme el triángulo de Pascal se va ampliando a más y más filas, la probabilidad de encontrarse un número par tiende a 1 (o sea, al 100%) mientras que la probabilidad de encontrarse un número impar tiende a 0. ¿Veis cómo las zonas blancas (números pares) en cada iteración se van comiendo las zonas grises (números impares)?

Ah, y por si a alguien le suena otro nombre, el triángulo de Pascal es también conocido como triángulo de Tartaglia, o triángulo de Khayyam, o triángulo de Yang-Hui, dependiendo del país, pues diferentes culturas lo han estudiado en detalle. Y por otra lado el triángulo de Sierpinski se llama también criba de Sierpinski o estuche de Sierpinski.